Los postulados de Euclides

Nota. Buscar en el diccionario las palabras técnicas. En la próxima clases preguntarle al profesor sus dudas. 

Geometría Euclidiana 

Bienvenida. 

Es para mí un placer darles la bienvenida al primer curso de Geometría Euclidiana. 

Quiero motivarlos a estudiar los fundamentos de la Geometría, ya que como podrás comprobar al terminarla, te será de mucha utilidad en los cursos posteriores de la licenciatura de Matemáticas, no sólo podrás comprender conceptos geométricos, sino también procesos analíticos y algebraicos atreves de la geometría. 

Te invito a que veas el contenido del curso, las actividades y revises la programación de actividades y exámenes. 

Introducción. 

Antes de Euclides, la Geometría era una colección de ideas y resultados de la experiencia con el manejo de las figuras. Euclides organizó toda esta información en un sistema lógico que ahora es conocido como sistema axiomático deductivo. Todo esto lo recopilo en su obra maestra titulada “Los Elementos”. 

En el sistema axiomático deductivo es necesario comenzar desde algunos términos sin definir, llamados términos no definidos. En el sistema que esta sujeta la Geometría los términos no definidos son: punto, recta y plano. Los demás es posible definirlos de manera formal, a través de definiciones. 

Aceptaremos los axiomas o los postulados del sistema. De estos axiomas y mediante el razonamiento lógico lograremos deducir nuevas propiedades los que llamaremos teoremas, 

Este curso s dividirá en 6 módulos, el I modulo se consideran las nociones fundamentales de la Geometría, II modulo los postulados de separación del plano y medida angular, III congruencia de triángulos, IV desigualdad entre segmentos y ángulos, V paralelismo en en plano y VI paralelogramos.

Esperamos que este curso le sirva a los estudiantes del curso de Geometría de la Licenciatura de Matemática, el cual es una base para los demás cursos. 

Objetivo del curso. 

Ofrecer las herramientas básicas para demostrar teoremas y comprender conceptos relacionados con las Geometría en los demás cursos de la licenciatura de Matemática.

Clase. 

Módulo I. Nociones Fundamentales de la Geometría. 

En la estructura de la Geometría Euclidiana se indentifica tres conjuntos, S es el conjunto cuyos elementos son todos los puntos, L de subconjuntos de S, cuyos elementos son rectas y P subconjuntos de S cuyos elementos son llamados planos. La estructura geométrica (S,L,P), donde los elementos de S son puntos que se denotaran por A,B,C,… los elementos de L son rectas indicaremos con las letras a,b,c,… y los elementos de P son planos indicados por

1.1 Relaciones de incidencia entre puntos, rectas y planos. 

Definición 1.1 El conjunto de todos los puntos, rectas y planos es el espacio. 

1- Si una recta l  es un subconjunto de un plano π, diremos l que está en el plano π.

2- Si un punto P pertenece a una recta l, podemos decir que P está en la recta l. 

3- Si un punto P pertenece a un plano π, podemos decir que P está en el plano π. 

Definición 1.2 Los puntos de un conjunto son alineados , si hay una recta que los contiene a todos. 

Definición 1.3 Los puntos de un conjunto son coplanarios o coplanares, si hay un plano que los contiene a todos. 

1.2 Axiomas de incidencia 

AI-1 Por dos puntos diferentes cualesquiera, pasa una recta y sólo una. 

AI-2 Por tres puntos cualesquiera no colineales pasa un plano y sólo uno. 

AI-3 Si dos puntos están en un plano, entonces la recta que los contiene está en el mismo plano. 

AI-4 Si dos planos se intersectan, su intersección es una recta. 

AI-5 Toda recta contiene al menos dos puntos. Todo plano contiene al menos tres putos no colineales y el espacio contiene por los menos cuatro puntos no coplanares. 

1.3 Teorema de incidencia

Teorema 1.1 Dos rectas diferentes se interceptan a lo sumo en un punto. 

Demostración. Sea dos rectas distintas l1, l2. Lo demostraremos por reducción absurdo, que las rectas l1 y l2  su intersección contiene dos puntos P y Q. Esto es imposible, pues por el axioma AI-1 sólo hay una recta que contiene a P y Q. Por lo tanto, l1 y l2 se intersectan en P .

Asignación. 

Tarea nº 1

1-Investigue las contribuciones de Euclides a la Matemática. 

2- Investigue sobre sistema axiomático deductivo en Geometría y en otras ramas de la Matemática. 

3-Investigue sobre el método de reducción al absurdo y menciones tres ejemplos.    

Criterios de evaluación.

Actividad	Fecha	Ponderación
Parcial nº 1		10 %
Parcial nº 2		10 %
Parcial nº 3		10 %
Tarea nº		xx%
Tarea nº		xx%
Examen semestral		40 %
		100 %

Les informo que esta distribución es en base lo que establece el estatuto universitario de la Universidad de Panamá. Parciales 30%-40%, Tareas 20%-30% y Examen final 30%-40%. 

Nota. Las tareas no lleva numeración porque ellas se establecen al material que se va desarrollar lo que se de ellas es que la suma de su ponderación es 30%. 

Bibliografía. E. Hidalgo, Apuntes Geometría Euclidiana, Universidad de Panamá (2009).